Kiến Thức

Tại Sao 1 + 1 = 2? Cách Chứng Minh & Lý Do Chúng Ta Học Toán

Đánh giá

Tại sao 1 + 1 = 2? Đây là câu hỏi tường chừng vô cùng đơn giản mà ai cũng biết câu trả lời. Tuy nhiên, chúng ta đã bao giờ suy nghĩ kỹ hơn vì sao 1 + 1 lại bằng 2 và lí do chúng ta học Toán chưa?

Hôm nay hãy cùng mình phân tích chi tiết hơn về câu hỏi này và lí do chúng ta học Toán nhé.

Số tự nhiên và các phép toán liên quan

Đầu tiên, 1 + 1 = 2 không phải là tiên đề như nhiều người vẫn tưởng tượng. Thực tế 1 + 1 = 2 là mệnh đề có thể chứng minh được nếu có điều kiện trước (tiên đề) xác định khái niệm trong mệnh đề này.

Vì vậy, trước khi bắt đầu, chúng ta cần hiểu một số khái niệm trước.

Số tự nhiên

“Chúa tạo ra toàn bộ số, số còn lại là sản phẩm của con người” – Leopold Kronecker

Hãy coi nguồn gốc của số tự nhiên là một chủ đề dài dòng, nhưng chúng ta có thể hiểu rằng số tự nhiên là một dạng đếm của con người đối với các sự vật tự nhiên.

Việc đếm như vậy có thể xuất phát từ quy luật quan sát các sự vật tự nhiên. Nếu chúng ta sử dụng ngôn ngữ tự nhiên, chúng ta có thể hiểu quy tắc đếm này với ví dụ sau:

Một là số mũi của một con mèo bình thường, khỏe mạnh trong tự nhiên.

Thứ hai là số lượng mắt của một con mèo bình thường, khỏe mạnh trong tự nhiên.

Số lượng này hoàn toàn là định lượng, không phải định tính. Có nghĩa là, khi đếm, chúng ta giả sử rằng các đối tượng được đếm có cùng “thuộc tính”.

Việc quy định tính chất này có thể rất linh hoạt ngoài phạm vi toán học, nhưng nó phải được thống nhất trong phạm vi toán học.

Giả sử chúng ta đếm một rổ hoa quả, rổ có thể có 5 quả cam nhưng cũng có thể có 3 quả cam và 2 quả chanh.

Nếu chúng ta quy định giữ nguyên số lượng cho thuộc tính “cam” của quả và thuộc tính “chanh” của quả, chúng ta sẽ có 3 quả cam và 2 quả chanh.

Nhưng nếu chúng ta giảm tất cả các mục trong giỏ về cùng một thuộc tính “quả”, chúng ta vẫn có sẽ có 5 “quả”.

Trong toán học thuần túy, enum hoặc không có thuộc tính nào ở trên theo mặc định, hoặc mặc định là thuộc tính đồng nhất (ví dụ: để công bằng trong các trường hợp trao đổi).

Để thể hiện đặc điểm này, lịch sử nhân loại nhìn thấy các mô hình khác nhau giữa các nền văn minh / quốc gia:

Tham khảo thêm  Tại sao con gái phải mặc áo lót? Có nên mặc thường xuyên không?

Người Ai Cập áp dụng toàn bộ hệ thống chữ tượng hình của chính họ cho việc đếm

Người La Mã sử dụng toàn bộ hệ thống số của người La Mã

Hệ thống số của Ả-rập đang được sử dụng rộng rãi trên toàn thế giới trong Toán học hiện đại

Những con số hiện tại chúng ta sử dụng như: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 chỉ là một ký hiệu để đếm.

Tuy nhiên, từ quan điểm toán học, chúng không còn chỉ là số đếm, mà trở thành các đối tượng toán học.

Và khi chúng là đối tượng Toán học, ngoài chức năng đếm còn phải đảm bảo hai điều khác:

  • Chúng có thể được sử dụng để lập luận logic
  • Chúng có thể được sử dụng để thực hiện các chứng minh toán học

Một câu hỏi: chúng ta có thể thay thế 0, 1, 2, 3 bằng các ký hiệu khác … câu trả lời là .

Tuy nhiên, việc sử dụng các ký hiệu khác không được áp dụng vì các tiêu chuẩn như ký hiệu số tự nhiên đã được chấp nhận và sử dụng quá lâu, một điểm quan trọng khác là chúng phù hợp với mục đích của họ.

Các phép toán đơn giản về số học (Elementary Arithmetic) & tiêu đề Peano (Peano Anxioms)

Một trong những nhánh đầu tiên của toán học cổ đại là số học cơ bản, giới thiệu các phép toán cơ bản. Một phép toán là một phép toán nhận hai hoặc nhiều toán hạng (hoặc phần tử) đầu vào để tạo ra một đầu ra.

Các phép toán số học cơ bản bao gồm:

  • Phép cộng kí hiệu là +
  • Phép trừ kí hiệu là
  • Phép nhân kí hiệu là x
  • Phép chia kí hiệu là :

Vào thế kỷ 19, nhà toán học Giuseppe Peano (27 tháng 8 năm 1858 – 20 tháng 4 năm 1932) đã sử dụng các khái niệm về số tự nhiên và số học cơ bản để xây dựng các định đề xác định các tính chất của số tự nhiên, được gọi chung là hệ tiên đề Peano.

Hệ tiên đề này bao gồm 9 định đề:

  • 0 là số tự nhiên
  • Với mọi số tự nhiên x, x = x. Quan hệ bằng nhau sẽ có tính phản xạ (reflexive)
  • Với mọi số tự nhiên x và y, nếu x = y thì y = x. Quan hệ bằng nhau có tính đối xứng
  • Với mọi số tự nhiên x, y và z, nếu x = y thì y = z và x = z. Quan hệ bình đẳng có tính bắc cầu
  • Với mỗi a và b, nếu b là số tự nhiên và a = b thì a cũng là số tự nhiên. Trong trường hợp phương trình, tập hợp các số tự nhiên là một hệ đóng.
  • Với mọi số tự nhiên n, S (n) là một số tự nhiên. Tập hợp các số tự nhiên là tập đóng của điều kiện hàm S.
  • Với mọi số tự nhiên n, S (n) = 0 là sai. Không có số tự nhiên nào trước 0.
  • Nếu K là một tập hợp: 0 thuộc K Với mọi số tự nhiên n, n thuộc K và S (n) cũng thuộc K thì K chứa mọi số tự nhiên.

Nếu tuân theo hệ định đề của Peano, chúng ta có thể hiểu rằng 0 là số tự nhiên đầu tiên, và tất cả các số tự nhiên khác chỉ là tích của các hàm S. Nó có thể được hiểu là:

Tham khảo thêm  Bài 1 : KHÁI NIỆM HÀM SỐ | Toán học phổ thông - SGK

Chúng ta có một dãy N bắt đầu từ 0.

Phần tử tiếp theo của dãy N là tích của hàm tăng trưởng S đối với 0, ký hiệu là S (0). Theo quy tắc này, chúng ta sẽ nhận được tích tiếp theo S (S (0)), S (S (S (0)))) … Dãy N sẽ có dạng như sau:

  • N = 0
  • S (0), S (S (0))
  • S (S (S (0)))

Các phép toán trong hệ số tự nhiên bao gồm phép cộng và phép nhân, được xây dựng như sau:

  • Phép cộng:
    • a + 0 = a
    • a + S(b) = S(a+b)
  • Phép nhân:
    • a . 0 = 0
    • a . S(b) = (a . b) + a

Chứng minh tại sao 1 + 1 = 2

Trước khi sử dụng hệ tiên đề Peano để chứng minh tại sao 1 + 1 = 2, hãy giả sử đây không phải là cách duy nhất. Trên thực tế, có những cách khác để giải quyết vấn đề này:

Định nghĩa

Không phải bằng chứng, nhưng chỉ định bằng cách sử dụng định nghĩa. Đó là 2: = 1 + 1. Ở đây chúng ta sử dụng ký hiệu “2” để gán kết quả của phép biến đổi “1 + 1”.

Điều này sẽ trả lời một câu hỏi được đặt ra: tại sao là “1 + 1” “= 2” chứ không phải “= 3”? Sử dụng định nghĩa này để gán các giá trị bằng 3, 4, 5 hoặc 6, nhưng chúng không có ý nghĩa về mặt toán học.

Lý do: Nếu bạn sử dụng định nghĩa, thì “1 + 1 = 2” gần với ngôn ngữ tự nhiên hơn là ngôn ngữ toán học.

Sau đó “một và một được thêm vào để có được một kết quả, và kết quả này được gọi là hai” là hoàn toàn dễ hiểu.

Vì vậy, với một phép biến đổi khác, chúng ta phải lặp lại quá trình nhận dạng / định nghĩa ở trên một lần nữa.

Đồng thời, nếu “1”, “2”, “+”, “=” là các đối tượng Toán học thì chúng cũng phải sẵn sàng để thực hiện suy luận logic và thực hiện chứng minh toán học. hiểu thêm.

Nhưng để làm được suy luận logic và chứng minh toán học, chúng ta cần phải đưa ra các quy tắc cơ bản về các yếu tố trong một hệ thống logic (toán học là một dạng của hệ thống logic).

Các quy tắc cơ bản này được gọi là hệ tiên đề / tiên đề.

Chúng tôi chấp nhận các hệ tiên đề không phải vì chúng không thể sai, mà vì chúng là các quy tắc cơ bản mà chúng tôi sử dụng các quy tắc này để phát triển các phép biến đổi khác trong hệ thống.

Điều này có thể được so sánh với chơi cờ vua. Người chơi không hỏi “tại sao lại có luật này?” Mà chỉ sử dụng những luật đó để đạt được kết quả mà hệ thống luật pháp cho phép.

Cách chứng minh trong cuốn sách “Pricipia Mathematica” của Alfred North Whitehead & Bertrand Russell

Nhiều người nói rằng đó là một bằng chứng dài 300 trang, nhưng không phải vậy. Cuốn sách này chỉ được sử dụng một phần để chứng minh rằng 1 + 1 = 2. Và đấy là:

Trong đó, mệnh đề “1 + 1 = 2” được viết lại một cách logic như sau:

Bây giờ trở lại chứng minh “1 + 1 = 2” thông qua hệ tiên đề Peano. Tóm lại, đối với một hàm tăng trưởng có giá trị đơn S, phương trình và phép cộng, chúng ta có:

  • Với mỗi m và n thì S(m) = S(n) chỉ khi m = n
  • Đối với tập N gồm các số tự nhiên, là tập đóng dưới hàm S, với mọi a trong tập N, a = 0 hoặc a = S (b), trong đó b cũng thuộc N.
  • Không có tồn tại bất kì số n nào ở trong tập N mà S(n) = 0
  • Phép cộng trong tập N được biểu diễn như sau: a + 0 = a a + S (b) = S (a + b) Nếu ta coi S (0) = 1 và S (1) = 2. Ta cần chứng minh: S (0) + S (0) = S (1) Chúng ta có: Bắt đầu từ (4): S (0) + S (0) = S (S (0) + 0) (5) S (0) + 0 = S (0) (6) Từ (1) và (5): S (S (0) + 0) = S (S (0)) (7) Từ (5) và (7): S (0) + S (0) = S (S (0)) hoặc 1 + 1 = 2 (phải được chứng minh)
Tham khảo thêm  088 là mạng gì? Ý nghĩa số 088 theo phong thủy? Cách đặt mua

Vậy tại sao những thứ này lại quan trọng?

Chứng minh “1 + 1 = 2” được trình bày là một bước hoàn chỉnh trong việc xây dựng một hệ thống logic bằng ngôn ngữ toán học có ý nghĩa.

Điều này rất quan trọng vì chúng biến những quan sát tự nhiên của con người (số tự nhiên) thành một hệ thống hoàn toàn khách quan chỉ được điều chỉnh bởi logic thuần túy (tiên đề của Peano).

Tính khách quan này tạo ra một hệ thống chính thức trong đó:

  • Người ta đưa ra những luật lệ đó để dựa vào những luật lệ để có thể tạo ra những kết quả khác nhau
  • Các kết quả có thể được xác minh một cách khách quan

Và hệ thống chính quy này có những yếu tố để đảm bảo hai điều trên, đó là:

  • Một tập hợp hữu hạn các ký hiệu, hoặc bảng chữ cái, được sử dụng để tạo công thức, vì vậy công thức là một chuỗi hữu hạn các ký hiệu trong bảng chữ cái.
  • Một ngữ pháp bao gồm các quy tắc để tạo công thức từ các công thức đơn giản hơn. Một công thức được hình thành tốt là một công thức được hình thành bằng cách sử dụng các quy tắc của ngữ pháp chính thức. Sẽ có một quá trình xác nhận để đảm bảo rằng công thức là chính xác.
  • Một tập hợp các tiên đề hoặc hệ thống tiên đề, bao gồm các công thức ở dạng chuẩn.
  • Một tập hợp các quy tắc suy luận. Một công thức mô thức có thể được suy ra từ các tiên đề được coi là một định lý trong một hệ chính quy.

Khi thấy được điều này, chúng ta hiểu rằng kết quả của nghiên cứu toán học nói riêng và nghiên cứu khoa học nói chung không chỉ là kết quả.

Kết quả là quan trọng, nhưng quá trình xây dựng hệ thống để chứng minh và kiểm tra những gì dẫn đến những kết quả đó cũng quan trọng không kém vì chúng cho chúng ta biết về phương pháp luận và khoa học chung của một nghiên cứu toán học cụ thể.

Những thông tin trên đã giải đáp đầy đủ cho bạn về câu hỏi tại sao 1 + 1 = 2 và lý do chúng ta phải học toán. Đây là một môn học mang tính chất toàn cầu, hy vọng qua bài viết này sẽ giúp bạn sẽ có thêm thông tin về Toán học.

Related Articles

Back to top button