Chào các bạn học sinh thân yêu! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về khái niệm “Cát tuyến” và “Cát tuyến của đường tròn”. Để giúp các bạn nắm vững kiến thức này, VnDoc sẽ chia sẻ tài liệu chi tiết về cát tuyến và cách vẽ, giải bài tập liên quan đến cát tuyến của đường tròn nhé.
1. Định nghĩa về cát tuyến
-
Cát tuyến là một thuật ngữ Hán-Việt. “Cát” có nghĩa là “cắt” và “tuyến” có nghĩa là “đường thẳng”. Vậy nên, cát tuyến chính là một đường thẳng cắt qua các đường khác như đường thẳng, đường tròn, đường cong,…
-
Theo khái niệm trong sách giáo khoa môn Toán, cát tuyến là một đường thẳng cắt qua một đường thẳng khác. Cát tuyến của đường tròn là một đường thẳng cắt đường tròn đó tại hai điểm phân biệt. Cát tuyến của hai đường thẳng là một đường thẳng cắt hai đường thẳng đó. Một vài trường hợp đặc biệt của cát tuyến là cát tuyến đi qua tâm của đường tròn.
2. Tính chất của cát tuyến trong toán lớp 9
Hãy cùng xem một số tính chất của cát tuyến trong toán lớp 9 nhé:
- Nếu có một đường tròn có tâm O và hai đường thẳng AB và CD, ta có:
- Nếu hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm M, thì MA x MB = MC x MD.
- Ngược lại, nếu MA x MB = MC x MD, thì 4 điểm A, B, C, D cũng sẽ nằm trên cùng một đường tròn.
- Nếu MC là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến, thì MC^2 = MA x MB = MO^2 – R^2.
- Từ điểm K nằm bên ngoài đường tròn, ta có thể kẻ lần lượt các tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD. Nếu H là trung điểm của CD, thì 5 điểm K, H, A, B, O cùng nằm trên một đường tròn.
- Từ điểm K nằm ngoài đường tròn, ta có thể kẻ các tiếp tuyến KA, KB với cát tuyến KCD đến đường tròn. Khi đó, ta có AC/AD = BC/BD. Ta cũng có góc KAC = góc ADK => AC/AD = KC/KA.
3. Bài tập về cát tuyến đường tròn
Dưới đây là một số bài tập liên quan đến cát tuyến của đường tròn:
Bài tập 1: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), hãy vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O). Ở đây, A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D.
a) Chứng minh rằng: CM x MA = MC x MD.
b) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn.
c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh rằng HCOD là một tứ giác nội tiếp và AB là đường phân giác của góc CHD.
d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh rằng A, B, K thẳng hàng.
Lời giải:
a) Chúng ta có MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) (giả thiết).
=> Góc MAC = góc MDA => TAM MAC tương đơn nhất (g.g).
=> MA^2 = MC x MD (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).
=> MA^2 = MC x MD (đpcm).
b) Ta có I là trung điểm của CD (giả thiết).
=> Góc MIO = 90° = góc MAO = MBO.
=> 4 điểm M, A, O, I, B cùng thuộc đường tròn có đường kính MO.
c) Ta có:
- MA ⊥ OA, OM ⊥ AB tại H → MH x MO = MA^2 = MC x MD.
=> MA^2 = MC x MD → TAM MHC tương tự TAM MDC → góc MHC = góc MDO.
=> Tứ giác HCDO nội tiếp đường tròn.
=> Góc OHD = góc OCD = góc ODC = góc MHC.
=> 90° – góc MHC = 90° – góc OHD → góc CHB = góc BHD.
=> HB là phân giác của góc CHD.
d) Chúng ta có KC và KD là hai tiếp tuyến của đường tròn (O).
=> Tứ giác KCOD nội tiếp đường tròn (hay 4 điểm K, C, O, D cùng thuộc một đường tròn).
=> Tứ giác HODC nội tiếp đường tròn (chứng minh trên) (hay 4 điểm H, O, D, C cùng thuộc một đường tròn).
=> 5 điểm K, C, H, O, D cùng thuộc một đường tròn.
=> HK là phân giác của góc CHD (do KC = KD).
=> 3 điểm A, B, K thẳng hàng.
Bài tập 2: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O), hãy kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B, C là các tiếp điểm) và cát tuyến AED đến đường tròn (O). Trong đó, E và D là các điểm thuộc đường tròn và E nằm giữa A và D.
a) Chứng minh rằng: BD x CE = BE x CD.
b) Gọi H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng OHED là một tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh rằng: HC^2 = HD x HE và góc BDH = góc CDA.
Đây là một số kiến thức cơ bản về cát tuyến của đường tròn mà VnDoc muốn chia sẻ với các bạn. Hy vọng rằng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn tập lại kiến thức và áp dụng thành thạo vào giải các bài tập liên quan đến cát tuyến và đường tròn. Chúc các bạn học tốt!
Truy cập ngay: Văn Phòng Tuyển Sinh Y Dược Hà Nội để biết thêm thông tin chi tiết về chúng tôi và các khóa học chất lượng mà chúng tôi đang cung cấp.
Nguồn: VnDoc.com
