Khi bước vào thế giới toán học, chắc chắn chúng ta đã từng nghe qua thuật ngữ “số nguyên”. Nhưng số nguyên là gì? Và liệu số 0 có phải là số nguyên dương không? Bài viết này sẽ giải đáp những thắc mắc đó và cung cấp thông tin hữu ích xoay quanh chủ đề này.
Số nguyên là gì?
Số nguyên là một khái niệm cơ bản trong toán học, bao gồm cả số nguyên dương, số nguyên âm (là số đối của chúng) và cả số 0.
Tập hợp các số nguyên được ký hiệu là Z, viết tắt của từ “Zahl” có nghĩa là “số” trong tiếng Đức. Tập hợp Z là một tập con của hai tập hợp lớn hơn là tập hợp số hữu tỉ Q và tập hợp số thực R. Đồng thời, tập hợp Z cũng là tập mẹ của tập hợp số tự nhiên N. Tương tự như tập hợp số tự nhiên, tập hợp số Z là vô hạn nhưng đếm được. Tập hợp Z có thể được chia thành hai tập hợp con là Z+ (số nguyên dương) và Z- (số nguyên âm).
Tính chất của số nguyên
Các số trong tập Z có những tính chất cơ bản sau:
-
Không tồn tại khái niệm số nguyên lớn nhất và số nguyên nhỏ nhất. Điều này phụ thuộc vào từng trường hợp cụ thể.
-
Số nguyên dương nhỏ nhất là 1 và số nguyên âm lớn nhất là -1.
-
Tập hợp số Z bao gồm vô số tập con hữu hạn. Mỗi tập con này lại có số nguyên nhỏ nhất và lớn nhất riêng.
-
Không tồn tại một số nguyên nào nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.
Sự khác biệt giữa số nguyên và số thực
Số thực bao gồm các số dương, số 0 và số âm, cùng với số hữu tỉ và số vô tỉ. Số thực có thể được hiểu là các điểm nằm trên trục số vô hạn. Tập hợp số thực (ký hiệu là R) bao gồm số hữu tỉ và số vô tỉ: R = Q ∪ I.
-
Không có số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất.
-
Bất kỳ số thực nào khác 0 đều là số âm hoặc số dương.
-
Không có số nguyên nào nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.
-
Tập hợp số thực có vô số tập con đếm được, ví dụ như số nguyên, số hữu tỉ, đại số và số tính toán.
Mỗi tập con của số thực là một tập thực sự của tập hợp tiếp theo. Phần bù của tất cả các tập con này (như số thực vô tỷ, số siêu việt và ngay cả số không thể tính được) với các số thực sẽ tạo ra một tập hợp vô hạn không đếm được.
Có nghĩa là có vô số các số thực không đếm được. Trong khi đó, số tự nhiên lại được coi là tập hợp vô hạn đếm được.
Số 0 có phải là số nguyên dương không?
Số 0 đứng liền trước số +1 và liền sau số -1. Tuy nhiên, số 0 không phải là số nguyên âm và cũng không phải là số nguyên dương vì:
-
Số 0 không phải là số nguyên dương vì không có số nguyên dương nào nhỏ hơn 0 (1, 2, 3, 4…).
-
Số 0 cũng không phải là số nguyên âm vì không có số nguyên âm nào lớn hơn 0 (-1, -2, -3, -4…).
Các tập hợp số khác trong toán học
1. Tập hợp số tự nhiên N
Tập hợp số tự nhiên N là tập hợp cơ bản nhỏ nhất trong hệ thống các tập hợp số. N bao gồm các số 0, 1, 2, 3… Các số này được sử dụng trong quá trình đếm, ghi chú và lưu trữ thông tin. Tập hợp số tự nhiên là tập hợp số đầu tiên được hình thành trong lịch sử loài người.
2. Tập hợp số hữu tỉ Q
Tập hợp số hữu tỉ Q bao gồm các số có thể biểu diễn dưới dạng phân số a/b, với a và b là số nguyên và b không bằng 0. Tập hợp Q giống với tập hợp số tự nhiên N và tập hợp số nguyên Z khi đều là tập hợp vô hạn nhưng đếm được. Một số hữu tỉ có thể có nhiều biểu diễn phân số khác nhau hoặc được biểu diễn dưới dạng số thập phân. Số hữu tỉ ở dạng thập phân có thể là số thập phân tuần hoàn hoặc số thập phân không tuần hoàn.
3. Tập hợp số vô tỉ I
Tập hợp số vô tỉ I bao gồm các số không thể biểu diễn dưới dạng phân số. Số vô tỉ thường được hiểu như là số thực không phải là số hữu tỉ.
4. Tập hợp số thực R
Tập hợp số thực R là tập lớn nhất trong các tập hợp số, bao gồm số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ và số vô tỉ. Tập hợp R được coi là một hệ thống đại số tổng quát. Ngoài số 0 nằm ở trung tâm của trục số, bất kỳ số thực nào khác đều có thể là số âm hoặc số dương. R cũng như các tập con khác đều là các tập hợp vô hạn, nhưng tập hợp này lớn đến nỗi không đếm được.
5. Tập hợp số phức C
Tập hợp số phức C bao gồm các số có dạng a + bi, với a và b là số thực và i là đơn vị ảo. Số phức được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau như kỹ thuật, điện từ học, cơ học, vật lý lượng tử và toán học ứng dụng.
Trên đây là những thông tin cơ bản về số nguyên và sự khác biệt giữa số nguyên và số thực. Hy vọng bài viết đã cung cấp các thông tin hữu ích cho bạn trong việc tìm hiểu về toán học.
