Trực tâm tam giác, một khái niệm quan trọng trong hình học, thường được học trong chương trình toán học trung học cơ sở. Tuy nhiên, nhiều người sau một thời gian đã quên đi chính xác trực tâm là gì. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về trực tâm và cách chứng minh trong tam giác.
Khái niệm trực tâm
Trực tâm là giao điểm của ba đường cao tương ứng với ba đỉnh của một tam giác. Mỗi tam giác chỉ có duy nhất một trực tâm. Trực tâm có thể nằm trong hoặc ngoài miền của tam giác.
Đường cao tương ứng với một đỉnh của tam giác là đường thẳng nối từ đỉnh đó đến cạnh đối diện và vuông góc với cạnh đối diện tại điểm cắt. Cạnh đối diện này còn được gọi là cạnh đáy tương ứng với đường cao đó. Độ dài đường cao chính là khoảng cách giữa đỉnh và đáy tương ứng với nó.
Ví dụ: Cho tam giác LMN có ba đường cao lần lượt là LP, MQ, NI. Giao điểm của ba đường cao này là trực tâm của tam giác LMN.
Tính chất của trực tâm trong tam giác
Trực tâm tam giác có nhiều định lý và tính chất quan trọng. Hiểu rõ các định lý và tính chất này sẽ giúp bạn giải các bài tập hình học một cách nhanh chóng và hiệu quả.
- Nếu ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm, thì điểm đó là trực tâm của tam giác.
- Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến trung điểm của một cạnh bằng ½ khoảng cách từ trực tâm tới đỉnh còn lại của tam giác đó.
- Trong tam giác cân, đường trung trực tương ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường cao và đường trung tuyến của tam giác đó.
- Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, tam giác đó là tam giác cân.
- Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực, tam giác đó là tam giác cân.
- Trực tâm của tam giác nhọn ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác được tạo bởi 3 đỉnh là 3 chân đường cao tương ứng với 3 đỉnh của tam giác ABC.
- Định lý Carnot: Đường cao tương ứng với một đỉnh của tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ở đâu thì điểm đó là điểm đối xứng với trực tâm của tam giác đó qua cạnh đáy đối xứng với đỉnh.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, trực tâm là điểm P. Theo định lý Carnot, D sẽ đối xứng với P qua cạnh đáy BC.
Cách xác định trực tâm hình tam giác
Theo định nghĩa, trực tâm tam giác là giao điểm của ba đường cao tương ứng với ba đỉnh của tam giác. Tuy nhiên, chỉ cần tìm giao điểm của hai đường cao, bạn có thể dễ dàng xác định được trực tâm, không cần vẽ cả ba đường cao. Vị trí trực tâm phụ thuộc vào dạng tam giác.
Trong tam giác nhọn, trực tâm nằm bên trong tam giác. Trong tam giác tù, trực tâm nằm bên ngoài tam giác. Trong tam giác vuông, trực tâm chính là đỉnh góc vuông.
Ví dụ: Vì tam giác vuông FHG có góc đặc biệt nên đỉnh góc vuông H đồng thời là trực tâm của tam giác.
Ngoài ra, dựa vào các định lý và tính chất đã nêu ở phần trên, chúng ta có thể xác định trực tâm tam giác thông qua các phương pháp sau:
- Theo tính chất “Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến trung điểm của một cạnh bằng ½ khoảng cách từ trực tâm tới đỉnh còn lại của tam giác”, ta có thể xác định trực tâm như sau: Kẻ một đường cao và một đường từ tâm đường tròn này đến trung điểm cạnh đối diện với đỉnh đường cao đó. Từ đó, tìm một điểm nằm trên đường cao cách đỉnh tam giác tương ứng một khoảng gấp đôi khoảng cách từ tâm đường tròn tới trung điểm cạnh đối diện, điểm đó chính là trực tâm.
- Theo Định lý Carnot: Đường cao tương ứng với một đỉnh của tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ở đâu thì điểm đó là điểm đối xứng với trực tâm của tam giác đó qua cạnh đáy đối xứng với đỉnh. Bằng cách này, bạn có thể xác định trực tâm như sau: Kẻ một đường cao của tam giác, đường cao đó cắt đường tròn tại một điểm thứ hai (ngoài đỉnh tam giác), tìm điểm đối xứng với điểm đó qua đáy tương ứng, và điểm đó là trực tâm.
Công thức tính trực tâm của một tam giác
Trên đây là một số chia sẻ của chúng tôi về trực tâm trong tam giác và một số vấn đề liên quan. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi hay khó khăn nào, xin vui lòng liên hệ với chúng tôi tại Văn Phòng Tuyển Sinh Y Dược Hà Nội để được tư vấn chi tiết nhất.
