Chào các bạn! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại kiến thức về đường trung tuyến trong tam giác. Đường trung tuyến là một khái niệm rất quan trọng trong môn Toán, và nó có những tính chất đặc biệt cùng với công thức tính độ dài. Hãy cùng tìm hiểu thêm về khái niệm này và cách áp dụng nó trong các bài tập nhé!
Định nghĩa về đường trung tuyến
- Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.
- Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới cạnh đối diện. Mỗi tam giác sẽ có ba đường trung tuyến.
Ví dụ: Trong tam giác ABC, đường trung tuyến AI là đoạn thẳng nối từ đỉnh A đến trung điểm của cạnh BC. Nếu I,M,N lần lượt là trung điểm của ba cạnh BC,AC,AB, thì AI,CN,BM là ba đường trung tuyến của tam giác ABC.
Tính chất về đường trung tuyến
Đường trung tuyến của một tam giác có ba tính chất đặc biệt:
- Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm, gọi là trọng tâm của tam giác. Điểm trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
- Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác.
- Vị trí trọng tâm của tam giác: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Chú ý: Tính chất về đường trung tuyến cũng áp dụng cho tam giác thường, tam giác vuông, tam giác cân và tam giác đều.
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông. Nếu độ dài đường trung tuyến AM bằng MB, MC và bằng cạnh BC, tam giác ΔABC sẽ vuông ở A.
Trong tam giác cân và tam giác đều, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy là đường vuông góc với cạnh đó. Đường trung tuyến cũng chia tam giác thành hai phần bằng nhau.
Đây là những tính chất rất quan trọng để áp dụng vào các bài tập.
Định lí của đường trung tuyến trong tam giác
Nếu đường trung tuyến trong tam giác có ba tính chất, thì cũng có ba định lí tương ứng:
- Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm, gọi là trọng tâm của tam giác đó.
- Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.
- Về vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy.
Công thức độ dài của đường trung tuyến
Độ dài đường trung tuyến của một tam giác được tính thông qua độ dài các cạnh của tam giác, theo công thức định lý Apollonnius:
Trong đó:
- a, b, c là các cạnh của tam giác.
- ma, mb, mc là các đường trung tuyến của tam giác.
Bài tập vận dụng về đường trung tuyến
Bài tập 1: Cho tam giác ABC có trung điểm M, N lần lượt trên hai cạnh AB, AC. Hãy chứng minh tam giác ABC là tam giác cân tại A.
Lời giải:
Vì BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC và BM giao CN tại G, ta có:
BM = CN, BG = CN, GN = GM.
Xét ΔBNG và ΔCGM ta có:
- BG = CN
- GN = GM
- ˄BGN = ˄CGM (2 góc đối đỉnh)
Do đó, ΔBNG đồng dạng với ΔCMG và BN = CM.
Mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Từ đó, ta có: AB = AC ⟹ Tam giác ABC là tam giác cân tại A.
Bài tập 2: Đẳng thức nào sau đây là đúng?
Lời giải:
- Đáp án đúng là đáp án: 4.
Vì theo tính chất 3 của đường trung tuyến trong tam giác.
Tổng kết
Như vậy, qua bài viết hôm nay chúng ta đã cùng nhau nhớ lại và ôn tập kiến thức về đường trung tuyến trong tam giác. Hi vọng với những kiến thức bổ ích này, các bạn có thể ôn tập và rèn luyện lại kiến thức một cách tốt nhất và hiệu quả nhất.
Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm hoặc đăng ký tuyển sinh Y Dược tại Hà Nội, hãy truy cập Văn Phòng Tuyển Sinh Y Dược Hà Nội, chúng tôi sẽ giúp đỡ bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu Y Dược.
Chúc các bạn thành công và tiếp tục khám phá thêm nhiều kiến thức mới!
